咱们时常会遇到触及全部自然数的命题，对待这类问题，如果要否定它，你只要能举出一个反例便可。如果要证明它，因为自然数有没有限多个，若是一个接一个地验证下去，那永久也做不完。如何办?数学家想出了一种无比重要的数学办法来解决这种问题，那就是数学归纳法。数学归纳法在数学中有着广泛的利用，它是沟通有限和无穷的桥梁。欧几里得的起头实际上，人们很早就遇到了无穷聚拢的问题，而当时具体的推导或计算都只是针对有限对象，施行有限次论证。怎么样在具体的推导或计算中掌控无穷的困难，这很早就摆在数学家眼前了。最早是古希腊数学家欧几里得在他的《几何本来》中采取了近似于数学归纳法的思想。该书第9卷第20命题是：“素数比任何给定的一批素数都多。”欧几里得在证明这一命题时采取了独特的“几何”方式，他把数视为线段：设有素数a、b、c，另设d=a•b•c+1，则d或是素数或不是素数。如果d是素数，则d是与a、b、c三者都不同的素数。如d不是素数，则它必有素因数e，并且e与a、b、c都不同，所以一定有比给定的素数更多的素数。这一证明里隐含了：若有n个素数，就必定存在n+1个素数，因此自然推出素数有没有限多个。这是一种试图用有限推导掌控无穷的做法。尽管它不是很完美，但因为它隐含着这个命题，是人们还是普遍接受了它。这可以说是数学归纳法思想发生的初期，是人们沟通有限和无穷的一种初步的尝试。帕斯卡的工作欧几里得以后，似乎是因为数学的发展长时间没有进一步提出触及无穷聚拢的问题，所以在漫长的18个世纪中没有人在这个问题上前进一步。直到16世纪，一名意大利数学家毛罗利科在他的《算术》一书中明确地提出了一个“递归推理”原则，并提出了一个例子：“证明1+3+5+…+(2k-1)=k2对任何自然数都成立。”他用这一例子来讲明这一原则的利用。不过他并无对这一原则作出清晰的表述，所作的证明也仅限于对k=2、3、4时进行的计算。他仍像欧几里得那样，隐含地表示出原则的必要性。但因为他第一次正式提出这一原则，并以例子说明，所以人们认为毛罗利科是第一个正式利用数学归纳法的人。明确而清晰地论述并使用了数学归纳法的是法国数学家、物理学家帕斯卡。帕斯卡发现了一种后来被称为“帕斯卡三角形”的数表，即二项开展式系数表，中国称为“贾宪三角形”(是宋朝贾宪于公元11世纪最早发现的)。而帕斯卡在钻研证明这个算术三角形命题时，他最早准确而清晰地指出了证明进程所必需且只需的两个步骤，他称之为第一条引理和第二条引理。第一条引理该命题对于第一个数(即n=1)成立，这是很显然的。第二条引理如果该命题对任一数(对任一n)成立，它必对其下一数(对n+1)同样成立。因而可知，该命题必然对所有n值都成立。帕斯卡的证明办法恰是现在的数学归纳法，他所提出的两个引理就是数学归纳法的两个步骤，他在1654年写出的著作《论算术三角形》中做了详实的阐述。因而，在数学史上，人们认为帕斯卡是数学归纳法的创立人。归纳法的完美因为帕斯卡的时代尚没有树立表示自然数的符号，所以帕斯卡证明的第二步依然只能以例子来陈说。1686年，瑞士数学家J•伯努利提出了表示任意自然数的符号，在他的《猜度术》一书中，给出并使用了现代情势的数学归纳法。这样，数学归纳法开始得到众人的承认并得到数学界日趋广泛的利用。后来，英国数学家德•摩根给定了“数学归纳法”的名称。1889年，意大利数学家皮亚诺树立自然数的公理体系时，把数学归纳法作为自然数的公理之一(称为递归公理或数学归纳法公理)确立起来。这才为数学归纳法奠定了坚实的理论基础。那么数学归纳法与人们通常说的逻辑学中的“归纳法”有什么关系呢?对这一问题曾有过数学归纳法是归纳办法还是演绎办法的争论。这主要缘于“数学归纳法”的名称有误，实际上，它应称为“递归办法”或“递推办法”，是一种“从n过渡到n+l”的证明办法，与逻辑学中的归纳法没有什么关系。严格地说，它倒属于演绎办法：递归公理是它的一个大前提。以有限掌控无穷数学归纳法中的递推思想在咱们的生活实践中时常会遇到。比如家族的姓氏，咱们知道通常按父系姓氏遗传，即下一代的姓氏随上一代父亲的姓肯定，并且知道了有个家族第一代姓李，只要明确了这两点，咱们就能够得出结论：这个家族世世代代都姓李。再比如，把许多砖块按一定的间隔距离竖立起来，假设将其中任何一块推倒均可以波及下一块砖倒掉，这时候你如果推倒了第一块砖，后面不管有多少块砖，确定全体会倒掉。这两个事例告知咱们这样一个道理：在证明一个包括无穷多个对象的问题时，不需要也不可能逐个验证下去，只要能明确确定两点：一是问题所指的头一个对象成立，二是假设某一个对象成立时，则它的下一个也必定成立，这两条合起来就足以证明原问题。数学归纳法就是在这个简单道理的基础上抽象而成的，它的现代表述是：证明关于自然数n的命题P(n)，只要：一证明P(1)为真；二假定P(k)为真，则P(k+1)为真。两项都得到证明，则P(n)为真。依赖于自然数的命题在数学中普遍存在，用数学归纳法证明这种命题，两步缺一不可：第一步叫奠基，是基础；第二步叫归纳，其实是证明某种递推关系的存在。这是以有限来掌控无穷，通过有限次的操作来证明关于无穷聚拢的某些命题。数学界把数学归纳法视为沟通有限和无穷的桥梁。假如没有这个桥梁，很难想象人类怎么认识无穷聚拢问题，数学的发展也将会大打折扣。所以，数学家无比注重并时常使用它，恰是这座桥梁令人类通向了认识的彼岸。
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