很显然，多次守株待兔问题的本质其实就是n次独立的伯努利试验中成功的次数的离散概率分布。同样地，继续假设宋国人某次守株待兔成功的几率为p，宋人一共“守株”n次，其中k次成功，那么结合前面伯努利分布的结论，我们可以得到新的pmf
其中
读作“n取k”，即二项式系数（二项式定理各项的系数）守株待兔的启发是什么，所以n个独立的是/非试验中成功次数k的离散概率分布又被称为二项分布。
二项式系数的直观展示——帕斯卡三角/杨辉三角 三角形第n层（第1行定义为第0层，以此类推，第n+1行即第n层）正好对应于二项式(a+b)n展开的系数。例如第2层1、2、1为(a+b)2展开形式a2+2ab+b2的系数。 图片来源：Wikipedia
这里有必要稍微复习一下二项式系数“n取k”。除了上面的记法，“n取k”还可以写作下面这些形式
所以这其实只是一个中学的知识点，“n取k”即从n个不同元素中取出k个元素的方法数，觉得生疏的同学可以复习中学排列组合相关课程。那么回到上面介绍的二项分布的pmf
绿色部分代表前一节所述的伯努利试验的pmf，红色部分可以理解为我们希望在n次试验中有k次成功，但这k次成功可以发生在总共n次试验中的任意位置。
二项分布的概率质量函数（pmf）。图中横坐标为k，纵坐标是对应的概率。显然p和n不同，pmf的形状也会改变。
由于二项分布本质上就是n次伯努利试验的结果，所以二项分布的数学期望等于n倍的伯努利分布的数学期望，即np，记作λ。
真实情景：“守株待兔”试验成功的概率
经过了之前的铺垫，下面让我们来讨论真实的场景，即我们如果亲自去守株待兔会有怎样的结果。故事的结局里，宋国人终日守在树旁（即试验次数n很大），但“兔不可复得，而身为宋国笑”。我们以此作为样本可知，兔子撞到树上的概率是非常低的（概率p非常小）。
朱迪警官为大家亲自示范兔子的灵敏程度 图片来源：YouTube
我们考虑极限情况，令n趋近于无穷（n是试验次数，“趋于无穷”描述了守株待兔过程中“终日守在树旁”的状态）。那么，上一节中的二项分布可以写作
此处我们代入上一节中二项分布的期望值λ = np，即p = λ/n。为了后面计算的方便，这里我们引入自然常数e的定义
代入上面式子，之后的计算就显而易见啦——
综上所述，我们得到了真实情况下的概率质量函数pmf，也就是著名的泊松分布。上面计算说明，当试验的次数趋于无穷大，而λ = np不变时，二项分布收敛于泊松分布。
西梅翁·德尼·泊松（1781-1840），法国数学家、几何学家和物理学家。泊松是著名数学家拉格朗日和拉普拉斯的学生，其研究覆盖了当时数学几乎各个方向。中学课本上泊松光斑的故事说的就是他的故事。为了推翻光的波动理论，泊松计算发现在波动说的前提下，用一个圆片作为遮挡物时，光屏的中心应出现一个亮斑。结果菲涅耳和阿拉戈精心设计了一个实验，确认了这一亮斑的存在守株待兔的启发是什么，反而成为了支持波动说的强有力证据。 图片来源：Wikipedia
当然，只是看数学公式可能有些抽象，所以让我们直接上图。
图像为泊松分布的pmf。参数λ可以用样本的均值来近似。简单地说，将宋人守株待兔的时间划分成无数份，其中λ次等到了兔子撞树。横轴代表k，也就是我们如果去守株待兔，事件（等到兔子）发生次数。纵坐标则代表在上述λ的前提下，实际等到0，1，2 ，……，50只兔子的概率。显然，泊松分布以λ为中心，且λ越大，越接近正态分布。
本文到此结束，希望对大家有所帮助！
